| 1. | In mathematics, the Lyusternik–Fet theorem states that on every compact Riemannian manifold there exists a closed geodesic.
En mathématiques, le théorème de Lyusternik-Fet énonce que sur toute variété riemannienne compacte il existe une géodésique fermée. |
| 2. | In differential geometry and dynamical systems, a closed geodesic on a Riemannian manifold is a geodesic that returns to its starting point with the same tangent direction.
En géométrie différentielle, une géodésique fermée sur une variété riemannienne est une géodésique qui revient à son point de départ avec le même vecteur tangente. |
| 3. | In a Riemannian manifold (M,g), a closed geodesic is a curve γ : R → M {\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow M} that is a geodesic for the metric g and is periodic.
Dans une variété riemannienne (M, g), une géodésique fermée est une courbe γ : R → M |
| 4. | Wilhelm Klingenberg proved in 1959 that the injectivity radius of a closed surface is bounded below by the minimum of δ = π/√sup K and the length of its smallest closed geodesic.
Wilhelm Klingenberg montra en 1959 que le rayon d'injectivité d'une surface fermée est minoré par δ = π / sup K |
| 5. | For a closed Riemannian manifold the injectivity radius is either half the minimal length of a closed geodesic or the minimal distance between conjugate points on a geodesic.
Le rayon d'injectivité d'une variété compacte sans bord est donc soit la moitié de la longueur de la plus petite géodésique fermée, soit la plus petite distance entre deux points conjugués. |
| 6. | Thus every closed geodesic on M gives rise to an infinite sequence of critical points of the energy E. On the unit sphere S n ⊂ R n + 1 {\displaystyle S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}} with the standard round Riemannian metric, every great circle is an example of a closed geodesic.
Ainsi chaque géodésique fermée sur M donne lieu à une suite infinie de points critiques de E. Sur la sphère unité S n ⊂ R n + 1 |
| 7. | Thus every closed geodesic on M gives rise to an infinite sequence of critical points of the energy E. On the unit sphere S n ⊂ R n + 1 {\displaystyle S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}} with the standard round Riemannian metric, every great circle is an example of a closed geodesic.
Ainsi chaque géodésique fermée sur M donne lieu à une suite infinie de points critiques de E. Sur la sphère unité S n ⊂ R n + 1 |
